Autour du concept de dimension

vendredi 10 juin 2011

Conférence d’Aurélien Alvarez le 1er juin 2011 à La Rochelle

Nous étions malheureusement peu nombreux, à la Maison des Sciences de l’ingénieur du Pôle Sciences de l’université de La Rochelle, pour écouter Aurélien Alvarez, jeune maître de conférences à l’université d’Orléans. Son exposé était pourtant passionnant, illustré par des extraits du superbe film "Dimensions" qu’il a réalisé avec Etienne Ghys et Jos Leys , dont il nous a raconté la genèse et présenté quelques extraits.

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L’orateur a présenté rapidement la topologie, branche des mathématiques créée par Henri Poincaré au début du XXe siècle sous le nom d’analysis situs, qui étudie les invariants par déformation continue (homéomorphisme). La topologie différentielle étudie les variétés différentiables de dimension quelconque, la dimension pouvant être définie (Riemann 1859) comme le nombre de paramètres dont on a besoin pour se repérer sur une telle variété . Ainsi la sphère ordinaire est de dimension 2, mais on peut envisager des sphères de dimension n. On découvre alors des choses étonnantes : la sphère de dimension 3 est "la plus ronde de toutes", en ce sens que c’est celle qui présente le plus de symétries. John Milnor a démontré que la sphère de dimension 7 admet 28 structures différentiables, alors que pour la sphère de dimension 4 on ne sait pas combien il y en a.

Curieusement, la dimension 4 semble très particulière : beaucoup de théorèmes sont valables dans toutes les dimensions sauf dans la dimension 4. Faut-il voir un lien avec le fait que l’espace de la relativité générale est de dimension 4 ? ou que R4 peut être muni d’une structure de corps (les quaternions) ?

Pour se représenter des objets en dimension 4, on peut s’inspirer de la cartographie, qui vise à représenter une sphère sur un plan. La projection stéréographique est une façon de le faire, qui conserve les angles et transforme les cercles en cercles. De même qu’elle permettrait à des êtres plats (comme ceux du "Flatland" d’Abbott) de se représenter des objets de l’espace de dimension 3, elle nous permet de visualiser des objets de l’espace de dimension 4. Ainsi le film "Dimensions" représente des polyèdres de R4. Notons au passage que s’il y a 5 polyèdres réguliers en dimension 3, il y en a 6 en dimension 4, et 3 dans toutes les dimensions supérieures.

Le film "Dimensions" évoque aussi la "fibration de Hopf", qui est une décomposition de l’espace en cercles.

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Le débat qui a suivi l’exposé a permis notamment d’évoquer le rôle des images mentales dans la recherche mathématique, ainsi que le rôle ambivalent de l’ordinateur (outil puissant mais parfois trompeur).

Merci à Aurélien Alvarez pour ce voyage dans les grandes dimensions, qui nous a confirmé que les mathématiciens les plus féconds savent mêler la rigueur et le rêve …

Louis-Marie BONNEVAL


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Espace Mendès-France Mardi 4 avril 20h30

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Ponts mathématiques vers la littérature

POITIERS (86) | Espace Mendès France

Tous publics. Accès libre.

Conférence de Olivier Salon, mathématicien, comédien, écrivain, membre de l’Oulipo. En partenariat avec la régionale Poitou-Charentes de l’APMEP et l’IREM Poitiers.